Mathe Q1, Q2

Weiterführung der Differentialrechnung

Die Ableitung der Exponentialfunktion

Auf der letzten Seite haben Sie gesehen, wie man die natürliche Exponentialfunktion f(x)=ex ableiten kann. Zusammen mit der Kettenregel haben Sie nun die benötigten Werkzeuge kennengelernt, dies auch auf andere Exponentialfunktionen anzuwenden.


Beispiel: f(x)=ex2+2x+3
Zur Ableitung muss man erkennen, dass es sich hierbei um eine Verkettung von Funktionen handelt. Es gilt:

u(x)=ex und v(x)=x2+2x+3.

Da nun u'(x)=ex und v'(x)=2x+2 gilt nach der Kettenregel:

f'(x)=u'(v(x))*v'(x)=ex2+2x+3*(2x+2)

Somit kann man nun auch beliebige Exponentialfunktionen und nicht nur die natürluche Exponentialfunktion ableiten. Es gilt nämlich:

ax=eln(ax)=ex*ln(a)

Betrachten wir nochmals unser Eingangsbeispiel von der letzten Seite. Dort sollte die Funktion f(x)=4x differenziert werden. Es gilt also:

f(x)=4x=ex*ln(4)

Für die Ableitung ergibt sich daraus:

f'(x)=ex*ln(4)*ln(4)=4x*ln(4)≈1,3863*4x.


f(x)=e 3x3+x2+5x+3